Please reload

التدوينات الحديثة

 

بقلم: ألكساندرو ميكو

   15 يونيو ٢٠١٨

 

إذا كان لديك خط مستقيم وتريد عمل دائرة فإنك ستحتاج إلى بعض الباي.

 

 

سأتحدث في هذا المقال عن الرقم باي وليست الفطيرة الشهية المخبوزة بعناية، وعادةً ما يُمثَل بالحرف الاغريقي الصغير الذي يرمز لِ (π) (p)، وهو الثابت الرياضي الأشهر في وقتنا هذا إليك السبب:

 

جذر الدائرة

 

تمثل باي نسبة قطر الدائرة إلى محيطها، فمهما بلغ حجم الدائرة فسيبلغ قطرها دائمًا حوالي 3.14 مرة أصغر من محيطها بلا شك، فهذه النسبة π هي إحدى العماد التي بني عليها علم الهندسة الحديث.

 

ضع في بالك أن النسخة الكبيرة من ∏ والنسخة الصغيرة منها π لا تمثلان الشيء ذاته في الرياضيات

 

وللتوضيح فإنها غالبًا ما تُصغر لرقمين 3.14  ، أو إلى نسبة 22/7، إلا أنه لا يمكنك فهمه فهمًا عميقًا بسبب قوّته، فهو رقم غير منطقي مما يعني ببساطة أنه لا يمكن لجزء تحويل قيمته الفعلية، فالأرقام غير المنطقية لها قيمة أو مكوّن لا يمكن قياسه بمقارنته بالأرقام الطبيعية، ولتوضيح ذلك  أكثر يوجد عددًا لانهاية له من الأرقام غير المنطقية بين 1.1 و001 (...)1.100 فهي أرقام بين أرقام .

 

لا توجد وحدة قياس واحدة في الأرقام المنطقية صغيرة بما يكفي لاستخدامها لتفسير قيمة الأرقام غير المنطقية تفسيرًا كاملاً، فهما كالتفاح والبرتقال كلاهما فاكهة لكنهما مختلفتان كثيرًا.

 

 

 

مصدر الصورة: unsplash

 

ولأنه يستحيل تحويل باي لكونه كسر فهو بالتالي يحتوي على سلسلة لا منتهية من الكسور العشرية، تمكنّا حاليًا من حساب الأرقام وحصرها لِـ22.4 تريليون رقمًا، حسنًا أنا أقول “ قمنا بالحساب” ولكن فعليًا حواسيبنا هي من قامت بذلك.

 

علينا أن نتحدث بمنطقية فنحن لا نحتاج لهذا الكم الهائل من الأرقام، فهذه الأرقام مهمة لو كنا مثلًا وكالة ناسا وكان الناس يحيون أو يموتون حسب دقة هذه الحسابات لكن بالنسبة لنا نحن العامة هذا الرقم 3.14 يقوم بالواجب عمومًا، فهو جيد بما يكفي لكونه قريب جدًا من الدقة التي نحسب بها الأشياء حولنا، فنحن بكل بساطة لا نحتاج لهذه الدقة العالية في الحساب في أنشطتنا اليومية.

 

تجول في المنزل، والتقط شيئاً دائرياً، ،من ثَمّ قم بلف خيط حول محيطه، ثم حُلّه وقِس طوله بالمسطرة، قِس قطر الدائرة بنفس المسطرة واستخدم الناتج لتقسم محيط الدائرة عليه وستحصل بالضبط على ناتج 3.14 كل مرة تحسب فيها، بمعنى آخر قُص خيطًا لعدة أجزاء كل جزء منه يساوي طول قطر الدائرة فإنك ستحتاج إلى 3.14 أجزاء من هذه الخيوط لتغطي كامل المحيط.

 

لأن هذا التفسير المبسط مستخدم بكثرة فإننا نحتفل بيوم باي في يوم ١٤ من شهر مارس (3/14) كل عام.

وإن كنت بحاجة لتفصيلات أكثر لناتج باي فإليك أكثر من مليون منزلة عشرية.

 

فيمَ يُستخدم؟

 

يستخدم الرقم باي في جميع أشكال الصيغ، فعلى سبيل المثال يمكن استخدامه لحساب محيط الدائرة (π ضرب قطر الدائرة) أو مساحتها: A=πr2، وكيف يمكنني استيعاب هذه الصيغة هي استخدام هذه الخدعة “جميع أرقام باي مربعة”، ويستخدم باي أيضًا لحساب عناصر مختلفة من الأجسام الكروية، كسعتها (3/4πr3)أو مساحتها الخارجية (4πr²).

 

ولكنها تظهر في الكثير من المسائل الحسابية والهندسية، ومما يدعو للغرابة يمكن لرقم باي أن يكون ناتج نهائي لسلسة لامحدودة من العمليات، فعلى سبيل المثال إذا جمعت نظير جميع تربيعات الأرقام الطبيعية:

1/1² +1/2² +1/3²+ …+1/n²

 فستحصل على : π² /6

(حيث أن (n) ترمز إلى الأرقام الطبيعية (natural numbers).

 

تلتقي معظم الأقسام العلمية برقم باي في حساباتها في مرحلةٍ ما أو في غيرها، فعلماء الحاسب يستخدمونه لقياس سرعة الكمبيوتر، ومعرفة صلابته، وحساب صلاحية برامجه وذلك عن طريق استخدام الحاسوب لمعالجة الأعداد وحساب قيمة باي، فهو مفيد جدًا لتحديد السرعات الدائرية (مدى سرعة دوران الشيء) وسرعة الفولت عبر اللفائف والمكثّفات الكهربائية، ويمكن استخدامه لوصف سرعة حركة الأمواج على الشاطئ، وطريقة مرورالضوء عبر الفضاء، وحركة الكواكب، ولتتبع ديناميكا السكان إن كنت مهتمًا بالإحصائيات.

 

وهناك مجال آخر يظهر فيه رقم باي (مجال لن تتوقعه) وهو قيمة ثابت الجاذبية، فهو يوضح مدى تسارع نزول جسمٍ ما نحو الأرض حال سقوطه، فأكثر قيمة معتمدة هي 8.9² متر/ثانية، والجذر التربيعي لتلك القيمة هو تقريبًا 3.1305، وهي قريبة من قيمة باي، وهذا في الواقع لأن أول تعريف للمتر تضمن بندولًا استغرق ثانية واحدة ليتدلى من جانب لآخر، أصابتك الدهشة؟ ستجد لها شرحًا أكثر شمولية هنا.

 

يدعم رقم باي أيضًا أنظمة تحديد المواقع العالمية (GPS) بما أن الأرض عبارة عن كائن كروي، لذا عبّر عن الامتنان في نفسك للرياضيات عندما تتصل لاحقًا بشركة أوبر لتطلب سيارة وأنت متعب.

 

من اكتشف باي؟

 

لا يعد رقم باي بأية حال جديدًا على مسرح الرياضيات، فنحن نشير إليه بالحرف (π)  من الكلمة الإغريقية القديمة (περίμετρος) بيريميتروس وتعني (السطح الخارجي) أو (المحيط)، فقد استحدثها ويليام جونز عام 1706 ومن ثَم أشهرها ليونارد يولر، واُعتمِدت العبارة على الأغلب اعترافًا بجهود عالم الرياضيات القديم والعريق: أرخميدس.

 

بذل أرخميدس جهودًا عظيمة في سبيل تحسين قيمة باي، فكان بالإضافة إلى ذلك أول من استخدم باي لحساب مجموع عدد لامتناهٍ من العناصر منذ 2.200 سنة مضت ولازالت تستخدم حتى يومنا هذا.

 

لكنه لم يكن أول من أدرك أهمية (pi(e ففي كتابه تاريخ باي كتب البرفسور بيتر بيكمان:"كان المصريون والبابليون  مدركون على الأقل لوجود قيمة الثابت باي ولأهميته"  قديمًا منذ ٤٠٠٠ سنة مضت، فكان لديهما على الأغلب تقديرات تقريبية لقيمته الحقيقية (كان الرياضيات لايزال تقنية جديدة ذلك الحين) لكنهم كانوا قريبين جدًا من الصواب.

 

 

 

وأضافوا أن علماء الرياضيات المصريين القدامى اعتمدوا قيمة لابأس بها في ذلك الوقت وهي 3.1605 كما أوضحت لنا بردية ريند الرياضية، وقام الصينيون والهنود أيضًا بإيجاد قيم تقريبية من قيمة باي حيث توصلوا إلى سبعة أو خمسة أرقام  لباي على التوالي بحلول القرن الخامس بعد الميلاد.

 

 

بذل العلماء جهودًا أكبر ساهمت في تحسين هذه القيمة لاسيما ما قام به أرخميدس، فقد استخدم نظرية فيثاغورس لقياس مساحة الدائرة من خلال استخدامه مساحات مضلَعين منتظمين أحدهما يحيط بالدائرة والآخر محوط بها، إن كنت تغط في النوم خلال درس الرياضيات فهذا هو المضلع داخل الدائرة والآخر يحيط بها كل على حدة، كانت تلك طريقة رائعة لكن لها قصورها، فبما أن مساحات هذين المضلعين ليست تمامًا كمساحة سطح الدائرة فكان ما حصل عليه أرخميدس هي مسافة تحوي باي، كان مدركًا لهذا القصور، فقد أظهرت حساباته أن باي لابد أن يكون بين رقم  1/7 3  و  10/71 3  أي بين 3.14285 و 3.14085، أما اليوم فنعلم أن قيمة باي المؤلفة من خمسة أرقام هي 3.14159، لذا فتلك النتيجة لم تكن سيئة على الإطلاق بالنسبة لرجل لا يملك قلمًا ملائمًا ليكتب به القيمة.

 

ظهرت أولى الطرق لحساب القيمة الصحيحة لباي خلال القرن الرابع عشر تزامنًا مع نشأة سلسلة لايبنتس ومادافا، وبحلول القرن العشرين عُرفت باي بكونها تتألف من 500 رقم تقريبًا.

 

 

 

المصدر

 

 

 

Share on Facebook
Share on Twitter
Please reload

تابعنا
ابحث بالتاق
Please reload

الارشيف
  • Black Instagram Icon
  • Black Twitter Icon

Riyadh, Saudi Arabia

  • Black Instagram Icon
  • Black Twitter Icon

الرياض، المملكة العربية السعودية